Актуальная вещь - мультигрид. Надо в нем разобраться.
В первом приближении это выглядит так. Решаем дифференциальную задачу на нескольких сетках: P_k, P_(k-1), ..., P_1. Сетка P_k - самая подробная, P_1 - самая грубая. После дискретизации задачи на сетках получаем СЛАУ T_k x_k = b_k, ..., T_1 x_1 = b_1.
Первую СЛАУ (с T_1) решаем точно - она маленькая. Решение этой задачи используем как приближение (сначала интерполируем на более подробную стеку) для 2й СЛАУ.
Решение задач на мелких сетках осуществляем следующим образом. С помощью оператора сглаживания улучшаем начальное приближение (подавляем высокочастотную погрешность). Затем вычисляем невязку с помощью оператора сужения аппроксимируем невязку для мелкой сетки через более грубую сетку. Затем решаем задачу на более грубой сетке рекурсивно при нулевом начальном приближении. При этом вычисляется некоторая поправка, которую нужно интерполировать на более мелкую сетку. Вычитаем поправку, вычисленную с помощью более грубого решения, из приближенного решения на мелкой сетке. Снова уточняем решение.
Если развернуть рекурсию, получится такая схема: k-я СЛАУ, (k-1)-я, ..., 2я, 1я, 2я, ...,(k-1)-я, k-я. Это так называемый V-цикл.
Цитата из статьи Ю.М. Лаевского "О некоторых итогах развития современной вычислительной математики" (2002 год): "Методы в пространствах Крылова обладают значительной универсальность. Но если речь идет о дискретном аналоге уравнения в частных производных, для которого имеется MG-техника (гладкое решение, регулярные сетки), то ее использование много эффективнее"
В первом приближении это выглядит так. Решаем дифференциальную задачу на нескольких сетках: P_k, P_(k-1), ..., P_1. Сетка P_k - самая подробная, P_1 - самая грубая. После дискретизации задачи на сетках получаем СЛАУ T_k x_k = b_k, ..., T_1 x_1 = b_1.
Первую СЛАУ (с T_1) решаем точно - она маленькая. Решение этой задачи используем как приближение (сначала интерполируем на более подробную стеку) для 2й СЛАУ.
Решение задач на мелких сетках осуществляем следующим образом. С помощью оператора сглаживания улучшаем начальное приближение (подавляем высокочастотную погрешность). Затем вычисляем невязку с помощью оператора сужения аппроксимируем невязку для мелкой сетки через более грубую сетку. Затем решаем задачу на более грубой сетке рекурсивно при нулевом начальном приближении. При этом вычисляется некоторая поправка, которую нужно интерполировать на более мелкую сетку. Вычитаем поправку, вычисленную с помощью более грубого решения, из приближенного решения на мелкой сетке. Снова уточняем решение.
Если развернуть рекурсию, получится такая схема: k-я СЛАУ, (k-1)-я, ..., 2я, 1я, 2я, ...,(k-1)-я, k-я. Это так называемый V-цикл.
Цитата из статьи Ю.М. Лаевского "О некоторых итогах развития современной вычислительной математики" (2002 год): "Методы в пространствах Крылова обладают значительной универсальность. Но если речь идет о дискретном аналоге уравнения в частных производных, для которого имеется MG-техника (гладкое решение, регулярные сетки), то ее использование много эффективнее"
